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循環小数

 

循環小数についてネットで興味深い記事を見つけました。1÷7は0.142857 142857 142857···と6桁の循環節を持つ循環小数となり、これの6倍までが以下のように1→4→2→8→5→7の順に巡回させた数、「巡回数(ダイヤル数)」になるという記事でした。

 

142857x2=285714

142857x3=428571

142857x4=571428

142857x5=714285

142857x6=857142

 

続く142857x7は999999となりますが、これは0.142857 142857 142857···x7=0.999999···=1となることから何となく分かります。更に続く142857x8=1142856となり、先頭の1を最後の桁に足すと142857となるし、142857x9=1285713の先頭の1を最後の桁に足すと285714となり、乗数10以降も同じように続くと聞いては、恐れ入るばかりです。

 

以上の循環小数と巡回数については次のルールが存在するようで、再び恐れ入りました。

 

1. 2、5以外の素数pにおいて1÷pは(p-1)の約数桁の循環節を持つ循環小数となる。

  例えば、1÷13は076923という6桁(13-1=12の約数)の循環節を持つ。

2. 素数pが(p-1)桁未満の9の列で割り切れなければ循環節は巡回数となる。

  例えば、1÷13の循環節は999999÷13=76923と割切れるので巡回数とならない。

 

さて、循環節が(p-1)桁の巡回数となる100以下の素数pは、7に続いて17、19、23、29、47、59、61、97で、1÷17の循環節は0588235294117647(16桁)、1÷19は052631578947368421(18桁)、1÷23は0434782608695652173913(22桁)、1÷29は0344827586206896551724137931(28桁)、1÷47は0212765957446808510638297872340425531914893617(46桁)、1÷59の場合は0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661(58桁)と続くとのこと。

 

本当だろうかと、暇潰しの一つとして、1÷59の結果が巡回数なのか否かExcelで確認しようとしたものの、Excelでは15桁以上の数字を扱えないということで、58桁を6つに分割して計算した結果が下の写真。数時間費やして巡回数であることを確認できた時には、血圧はかなり高くなっていたことと思います。

 

循環小数の例

(この他の記事はこちらから検索できます)

| すうさん | 08:29 | comments(0) | trackbacks(0) | pookmark |
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